Полупроводниковые терморезисторы обладают существенной нелинейностью, поэтому выполнять расчёт их температуры по известной величине сопротивления рекомендуется с помощью математической аппроксимирующей модели — уравнение Стейнхарта-Харта (The Steinhart-Hart equation):
где T [K — Кельвин] — температура терморезистора;
R [Ом] — его сопротивление при температуре T;
A, B, C — коэффициенты для конкретно используемого терморезистора.
Уравнение может иметь более расширенный вид: оно не ограничивается лишь только тремя слагаемыми. Однако, последующими слагаемыми, зачастую, пренебрегают, поскольку они не вносят сколько-нибудь значительный вклад в точность результатов расчёта.
ВАЖНО
В физике принято измерять температуру по шкале Кельвина. Она отличается от привычной для нас в быту шкалы Цельсия тем, что за ноль для шкалы Цельсия установлена температура тройной точки воды (точнее — 0,01 ̊C), а для шкалы Кельвина — температура абсолютного ноля.
Один градус Цельсия равен одному Кельвину. Соответственно, 0 градусов по шкале Цельсия соответствуют 273,15 градусов по шкале Кельвина:
0 ̊C соответствует 273,15 К
0 К соответствует -273,15 ̊С
Таким образом, значения температуры, при которых указывается ТКС в документации к терморезисторам, можно выразить так:
+20 ̊C = 293,15 К
+25 ̊C = 298,15 К
Тройная точка воды — определённые значения температуры и давления, при которых вода может одновременно и равновесно существовать в виде трёх фаз: в жидком, твёрдом и газообразном состояниях. Температура 273,16 К (0,01 ̊C), давление 611,7 Па.
Абсолютный нуль температуры — температура, при которой энергия теплового движения молекул и атомов вещества должна быть равна нолю, то есть хаотическое движение частиц прекращается. Минимальный предел температуры, которую может иметь физическое тело во Вселенной.
Как правило, в документации от производителя к терморезисторам указываются значения коэффициентов A, B и C.
Коэффициенты определяются при градуировке в трёх температурных точках, которые отличаются друг от друга как минимум на 10 ̊C. Зачастую, при градуировке терморезисторы герметизируют в стеклянных колбах, а в качестве образцового средства измерения температуры используют платиновый термопреобразователь сопротивления (термосопротивление).
Сличение показаний терморезистора и термопреобразователя в диапазоне от 0 ̊C до 100 ̊C выполняют с шагом 20 ̊C. По значениям, полученных в выбранных точках, выполняют вычисление коэффициентов.
Возьмём, к примеру, терморезистор с номинальным сопротивлением 10 кОм серии NTCLE100E3 от компании Vishay. В данном случае — это термисторы с отрицательным температурным коэффициентом, которые используются для измерения температуры. Основные характеристики указанного термистора представлены ниже во фрагменте из документации от производителя.
Чтобы узнать значения коэффициентов для рассматриваемого датчика, для начала необходимо определить его коэффициент температурной чувствительности B25/85. Значение данного коэффициента также можно найти в документации.
Нас интересует строка, выделенная красным цветом. Номинальное сопротивление нашего терморезистора равно R25 = 10000 Ом. Соответственно, значение коэффициента температурной чувствительности выделено зелёным: B25/85 = 3977 К.
Теперь можно определить значения коэффициентов. В той же документации существует раздел, в котором описывается применение уравнения Стейнхарта-Харта. На фрагменте (см. рис. 3) красным выделена данная формула. В ней нас интересуют коэффициенты A1, B1 и C1 (D1 не учитываем, поскольку в изначально представленной формуле выше данного коэффициента нет. Это значит, что без учёта этого коэффициента точность вычисления будет немного меньше, но этим значением можно пренебречь. В таблице нас интересует строка, выделенная оранжевым цветом. Она соответствует значению коэффициента температурной чувствительности B25/85 = 3977 К, который выделен синим цветом. Соответственно, интересующие нас коэффициенты выделены зелёным цветом:
Если же нет документации к нужному терморезистору, то данные коэффициенты можно определить, используя онлайн-калькулятор. Например, SRS Thermistor Calculator.
Необходимо ввести в формы значения сопротивлений и соответствующие им значения температур. Калькулятор рассчитает необходимые коэффициенты, в том числе коэффициент температурной чувствительности, а также построит график температурной характеристики терморезистора.
На рисунке 4 представлен скриншот выполненных расчётов для терморезистора с номинальным сопротивлением 10 кОм. На практике можно самостоятельно измерить сопротивление датчика в трёх разных температурных точках:
1) 0 ̊C (температура тающего льда);
2) +25 ̊C (примерная комнатная температура);
3) +40 ̊C (примерная температура тёплой воды).
При измерении (например, мультиметром) сопротивления терморезистора сам он должен быть гальванически изолирован от воды, чтобы электрический ток не тёк через неё. Также следует использовать в качестве образцового средства измерения температуры такой прибор, чувствительный элемент которого можно погружать в воду (см. рис. 5). Также подойдёт термопара для мультиметра.
Чем меньше габариты терморезистора, тем более уникальным он является с точки зрения коэффициентов для уравнения Стейнхарта-Харта. В этом ключе обычно рассматриваются так называемые «бусинковые» термисторы, ярким примером которого служит модель B57861-S от компании EPCOS с номинальным сопротивлением 10 кОм. Габаритные размеры (примерно 2 мм) чувствительного элемента напоминают маленькую бусинку, из-за чего получили такое название:
Такие датчики просто так заменить один на другой не получится, потребуется отдельная персональная градуировка. Хотя в документации к указанному терморезистору и указано значение коэффициента температурной чувствительности B25/85, и приведена таблица температурной характеристики, но нет данных о коэффициентах для уравнения Стейнхарта-Харта.
А вот рассмотренный выше терморезистор серии NTCLE100E3 с номинальным сопротивлением 10 кОм может быть взаимозаменяемым (то есть разные экземпляры одной серии), что можно сказать и про другие терморезисторы с большими габаритами. При этом стоит понимать, что абсолютная погрешность у таких взаимозаменяемых терморезисторов не менее 0,05 ̊C.
Расчёт коэффициентов для уравнения Стейнхарта-Харта
Если использовать для измерения температуры какой-нибудь терморезистор с номинальным сопротивлением 10 кОм, то, зачастую, для вычисления температуры по уравнению Стейнхарта-Харта применяются следующие (ориентировочные) значения коэффициентов:
В том случае, если нет информации о коэффициентах для уравнения Стейнхарта-Харта, можно самостоятельно произвести их расчёт, предварительно выяснив значения сопротивления интересующего терморезистора при трёх температурных точках.
Рассмотрим на примере некоего терморезистора с номинальным сопротивлением 10 кОм при +25 ̊С. Как было указано выше, можно самостоятельно определить значения сопротивления при 0 ̊C, +25 ̊С и +40 ̊С. Допустим, получены следующие значения:
Таким образом, можно составить систему уравнений из трёх выражений:
В этой системе значения температур приводятся в градусах Цельсия, но для вычисления коэффициентов необходимо перевести в кельвины, поэтому к значениям температуры t1, t2 и t3 прибавляется 273,15.
Для удобства последующих вычислений введём следующие соотношения:
Из составленных соотношений можно получить следующие выражения:
Таким образом, формулы для расчёта коэффициентов уравнения Стейнхарта-Харта будут иметь следующий вид:
Подставим в представленные уравнения наши исходные данные:
Итак, имеем следующие результаты вычислений:
Теперь попробуем ввести наши исходные данные в онлайн-калькулятор SRS Thermistor Calculator и посмотрим, что получится:
Сравним коэффициенты, полученные по нашим расчётам с помощью системы уравнений, с коэффициентами, полученные посредством онлайн-калькулятора:
Результаты примерно близки, так что для оценочных вычислений температуры подойдут.
Модифицированное уравнение Стейнхарта-Харта (B-уравнение)
На практике, особенно при работе со встраиваемыми системами (микроконтроллерные системы или Интернет-вещей, системы на базе одноплатных компьютеров (embedded Linux)), можно автоматизировать вычисления температуры по уравнению Стейнхарта-Харта. Но чаще всего применяют более простую версию уравнения — так называемое модифицированное уравнение (B-уравнение).
Модифицированное уравнение Стейнхарта-Харта даёт менее точный результат, но при работе с ней не требуются коэффициенты A, B и С. Требуется лишь только одна константа — коэффициент температурной чувствительности B25/85, в честь которого и названа эта формула как B-уравнение, которое имеет следующий вид:
где T [К] — искомое значение температуры;
T0 [К] = 25 + 273,15 = 298,15 — температура, при которой указывается номинально значение сопротивления терморезистора;
RT [Ом] — измеренное значение сопротивления терморезистора;
RT0 [Ом] — номинальное значение сопротивления терморезистора при +25 ̊C (298,15 К);
B25/85 [К] — коэффициент температурной чувствительности конкретной модели терморезистора.